Răspuns:
Sirul (1+1/n)ⁿ->e
Sirul (1+1/xn)^xn->e cand xn->∞
Daca un sir tinde la puterea 1^∞ e o nederminare.El trebuie adus la forma e^a
Explicație pas cu pas:
an=(1+2/n)ⁿ->1^∞ pt ca 2/n->0
xn este 2/n
vom ridica simulta sirul (1+2/n) la puterea n/2*2/n=1.Deoarece produsul este 1 , rezultatul nu se schimba
an=[(1+2/n)^n/2]^2/n*n=e^2n/n=e^2
---------------------------------
b)liman=lim(1+5/(n+1)]^(n+1)→1^∞
Aduci sirul an la forma (1+1/xn)^xn
Pentreu aceata ridici sirul an la puterea (n+1)/5*5/(n+1)
liman=lim[(1+5/(n+1)]^(n+1)/5]^5/(n+1)*(n+1)=e^lim5(n+1)/(n+1)=e^5
---------------------------------
c)an=(1+2/(n+1)^(n+2)→1^∞
eidici simultan an la puterea (n+1)/2*2/(n+1)
liman=lim[1+(2/(n+1)]^(n+1)/2]^2/(n+1)*(n+2)=e^lim2(n+1)/(n+2)=e^2
Procedezi asa pana la pct 5
g)an=(n+5/(n+2)^n →1^∞
Adui si scazi 1 la baza ca sa aduci expresia la forma(1+1/xn)
an=(1-1+(n+5)/(n+2)^n=
[1-((n+2)+(n+5))/(n+5)]^n=
[1+(-n-2+n+5)/(n+5)]^n=
[1+3/(n+5)^n
Treci la limita
liman=lim[1+3/(n+5)]^n Ridici baza simutan la puterea (n+5)/3*3/(n+5)
liman=lim[1+3/(n+5)]^(n+5)/3]^3/(n+5)*n=eLim3n/(n+5)=2^3
continui in asa fel si cu urmatoarele
E2an=[1/1*2+1/2*3+,,,+1/n(n+1)]^n=
[(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1)]^n=
(1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/(n-1)]^n=
(1-1/(n-1))^n→1^∞
lim an=lim(1-1/(n-1))^n ridici la puterea -(n-1)/1*(-1)/(n-1)=
lim[1-1/(n-1)]^(n-1)/(-1)]lim -1/(n-1)*n=elim(-n/(n-1)=e^(-1)=1/e
---------------------------------------------
E3
an=1/1*3+1/2*4+1/3*5+...+1/n(n+2)=
(1/2(1/1-1/3)+1/2(1/2-1/4)+1/2(1/3-1/5)+...1/2(1/n-1/(n+2))=1/2(1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/n-1/(n+2))=
se reduc termenii opusi=
1/2(1-1/(n+2)
liman=lim1/2Lim(1-1/n+2)=1/2lim(1-1/(n+2)=1/2*1=1/2
--------------------------------------------------------
e4 an=n*ln(1+1/n)=.>
liman=limn*ln(1+1/n)=
limln(1+1/n)^n=ln lim(1+1/n)^n=lne=1
Au fost exercitii multe si dificile.N-am putut sa ti le fac pe toate.Daca la cele facute nu intelegi ceva intreaba-ma dupa ora 10 sau dupa ora 17
