Răspuns:
Explicație pas cu pas:
x(x - 5)(x - 1)(x - 4) - m = 0
(x² - 5x)(x² - 5x + 4) - m = 0
(x² - 5x)[(x² - 5x) + 4] - m = 0
(x² - 5x)² + 4(x² - 5x) - m = 0
notăm: x² - 5x = t
t² + 4t - m = 0
se impune ca Δ = 4² + 4m = 16 + 4m ≥ 0 ⇒ m ≥ -4 ⇔ m ∈ [-4 , +∞) (*)
astfel ecuația în necunoscuta t are două soluții reale distincte (m > -4) sau identice (m = -4)
t12 = (-4 ± 2√(4 + m))/2 = -2 ± √(4 + m)
cazul 1:
x² - 5x = -2 - √(4 + m)
x² - 5x + 2 + √(4 + m) = 0
se impune ca Δ1 = 25 - 8 - 4√(4 + m) ≥ 0 ⇔ 4√(4 + m) ≤ 17 |²
⇔ 16(4 + m) ≤ 289 ⇔ m + 4 ≤ 289/16 ⇔ m ≤ 289/16 - 4 ⇒ m ≤ 225/16
⇔ m ∈ (-∞, 225/16] (**)
cazul 2:
x² - 5x = -2 + √(4 + m)
x² - 5x + 2 - √(4 + m) = 0
se impune ca Δ2 = 25 - 8 + 4√(4 + m) ≥ 0 ⇔ 4√(4 + m) ≥ -17 inegalitate adevărată pentru orice m ≥ -4
⇒ m ∈ (*) ∩ (**), adică m ∈ [-4, +∞) ∩ (-∞, 225/16]
⇒ m ∈ [-4, 225/16]
