Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Graficul asociat functiei de gradul 2 este o parabola cu ramurile in sus, daca avem coeficientul lui x² pozitiv, si cu ramurile in jos, daca acest coeficient este negativ.
Evident ca acest varf al parabolei va avea valoarea ordonatei (y=f(x)) minima in primul caz si maxima in al doilea caz.
Sa studiem cazul dat:
coeficientul lui x² este a=1 deci parabola are ramurile in sus, iar in varf avem minimul functiei. Acest varf are coordonatele V(x0=-b/2a; y0=-Δ/4a) unde a, b, c sunt coeficientii consacrati pentru f(x)=ax²+bx+c
aici a=1, b=-m, c=m²+1
Noi trebuie sa aratam ca pentru orice m, valoarea y0 >0 (deoarece daca cea mai mica valoare este pozitiva, atunci toate valorile lui f sunt pozitive!)
Δ=b²-4ac=m²-4m²-4=-3m²-4<0
y0=(3m²+4)/4>0 pentru orice m, ceea ce demonstreaza enuntul problemei.
O alta interpretare ar fi: Δ negativ⇒ecuatia f(x)=0 nu are solutii reale, deci graficul functiei (parabola!) nu intersecteaza Ox. Cum parabola are ramurile in sus, singura varianta este sa fie situata deasupra axei Ox, deci toate valorile pe care le ia functia sunt pozitive
