Răspuns:
Explicație pas cu pas:
AB=12, BD=(1/2)AB=6.
a) Aria(ABC)=AB²·√3/4=12²·√3/4=36√3cm²
b) ∡ABC=60°, ⇒∡ABD=120°, BM bisectoare, deci ∡MBN=60°. MN║BD, ⇒
∡ABC=∡BNM=60° ca alterne interne. Atunci ∡MBN=∡BNM, deci ΔABC~ΔBNM.
c) Fie h=d(B,AD), deci h este înălțime în ΔABD.
Din T.Cosinusurilor, AD²=AB²+BD²-2·AB·BD·cos(∡ABD)= 12²+6²-2·12·6·cos120°=12²+6²+2·12·6·cos60°=12²+6²+2·12·6·(1/2)= 12²+6²+12·6=12·(12+6)+6²=12·18+36=18·(12+2)=18·14=36·7. Deci AD=6√7.
Aria(ΔABD)=(1/2)·AB·BD·sin(∡ABD)=(1/2)·12·6·sin120°=36·sin60°=36·(√3/2).
Deci, Aria(ΔABD)=18√3.
Din alt mod, Aria(ΔABD)=(1/2)·AD·h=(1/2)·6√7·h=3√7·h
Deci, 3√7·h=18√3 |:3, ⇒ √7·h=6√3, ⇒h=(6√3)/√7=(6√3·√7)/(√7)²
Deci, h=(6√21)/7 = d(B,AD).
