Răspuns:
Explicație pas cu pas:
(a) Oricare ar fi 63 de numere naturale nenule distincte , atunci suma lor este mai mare sau egala cu 2016, deoarece suma primelor 63 de numere naturale nenule distincte este 1+2+3+....+63 = 63*64/2=2016
Asadar daca suma a 63 de numere naturale este 2015, atunci numerele nu pot fi distincte, cu alte cuvinte cel putin doua din cele 63 de numere sunt identice.
(b)
a+c=2b ⇒ a=2b-c ⇒ b-a=b-(2b-c)=b-2b+c= -b+c=c-b
Asadar b-a=c-b
a,b,c prime , 3<a<b<c
asadar exista x,y,z numere naturale astfel incat x<y<z si
a=3x+1 , daca x = par sau a=3x+2, daca x=impar
b=3y+1 , daca y = par sau b=3y+2, daca y=impar
c=3z+1 , daca z = par sau c=3z+2, daca z=impar
1. Daca x=par, z = impar, atunci
a=3x+1 , c=3z+2
2b=a+c=3x+1+3z+2 = 3x+3z+3 = 3(x+z+1)
Asadar 2b=3(x+z+1) ⇒3 este multiplu al lui 3, adica nu este prim, contradictie cu ipoteza.
2. Daca x=impar, z = par, atunci
a=3x+2 , c=3z+1
2b=a+c=3x+2+3z+1 = 3x+3z+3 = 3(x+z+1)
Asadar 2b=3(x+z+1) ⇒3 este multiplu al lui 3, adica nu este prim, contradictie cu ipoteza.
Deci avem doua cazuri ramase: x=par, z=par si x=impar, z=impar
3. Daca x=par, z=par ⇒ x+z = par ⇒x+z=2y , unde y este numar natural
avem
a=3x+1 si c=3z+1 ⇒ 2b=a+b=3x+1+3z+1=3(x+z)+2=3*2y + 2 = 2(3y+1)
deci 2b=2(3y+1) ⇒b=3y+1. Cum b este prim, atunci este impar, asadar y este par.
Si atunci b-a = 3y+1 - (3x+1) = 3y-3x = 3(y-x).
Cum y este par, x este par ⇒y-x este par, deci y-x=2m, unde m este numar natural nenul (b>a deci y>x)
Atumci b-a=3(y-x)=3*2m=6m ⇒6/(b-a)
4. Daca x=impar, z=impar ⇒ x+z = par ⇒x+z=2y , unde y este numar natural
avem
a=3x+2 si c=3z+2 ⇒ 2b=a+b=3x+2+3z+2=3(x+z)+2=3*2y + 2 = 2(3y+2)
deci 2b=2(3y+2) ⇒b=3y+2. Cum b este prim, atunci este impar, asadar y este impar.
Si atunci b-a = 3y+2 - (3x+2) = 3y-3x = 3(y-x).
Cum y este impar, x este impar ⇒y-x este par, deci y-x=2m, unde m este numar natural nenul (b>a deci y>x)
Atumci b-a=3(y-x)=3*2m=6m ⇒6/(b-a)
In concluzie 6/(b-a) si cum b-a=c-b, atunci 6/(c-b)
