Răspuns :
Salut, este o intrebare destul de interesanta, o sa incerc sa raspund, insa nu am o anumita sursa online, raspunsul vine din propria mea intuitie.
Deci, teorema lui Rolle spune ca daca o functie este derivabila si continua pe (a,b), iar f(a) = f(b) atunci exista cel putin un c in intervalul (a,b) astfel incat f'(c) = 0. Sa incercam sa intelegem aceasta teorema, daca f(a) = f(b) atunci functia 'revine' la aceasi valoare, deci daca functia creste, la un moment ea va trebui sa descreasca astfel incat sa ajunga la punctul initial - si vice versa. Acum stim ca daca f'(X) > 0 atunci functia creste in acel punct, daca f'(X) < 0 aceasta descreste, iar daca f(X) = 0 atunci functia isi schimba monotonia in acest punct, adica din functie crescatoare se transforma in functie descreacatoare, si vice versa.
Intrebarea ta se refera la faptul ca c apartine intervalului (a,b) si de ce nu [a,b] - raspunsul e prea simplu - deoarece noi consideram functia pe intervalul (a,b) doar. Daca am considera functia pe intervalul [a,b] atunci si c ar apartine [a,b], un exemplu concret e f(X) = 4. iar a = 4 si b = 10, observi ca daca c = 4, f'(c) = 0.
Acum vreau sa-mi exprim opinia de ce nu consideram intervalul inchis. Raspunsul scurt este ca nu ne intereseaza. Daca f'(a) = 0 sau f'(b) = 0, atunci functia e o constanta si nu avem multe motive sa o analizam. Deci ne uitam la functii care isi schimba monotonia, in asa fel daca functia nu e constanta f'(a) e imposibil sa fie 0, la fel cu f'(b).
Sper ca am ajutat, scrie in comentarii daca doresti sa discutam in continuare!