Un zmeu de hârtie are forma unui romb ABCD. Pe diagonalele AC SI BD sunt lipite șipci de lemn , iar un șnur care are lungimea de 2 m se lipește complet de conturul zmeului , capetele lui întâlnindu-se in A ( grosimea șnurului se consideră neglijabila ) a) calculați lungimea laturii rombului. b) punctul O este centrul rombului ABCD , iar M și N sunt mijloacele laturilor AB respectiv BC . Demonstrați că patrulaterul MONB este romb. c) aria suprafeței zmeului este cea mai mare posibilă. Arătați că, pentru lipirea șipcilor pe diagonalele lui , ajung 1,42 m de șipcă.

Question

a fost răspuns

Răspuns :

Boiustefid Boiustefid · Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

ABCD romb, deci laturi egale, opuse paralele.

a) Perimetrul = 2m=200cm, ⇒ 4·AB=200, ⇒AB=50cm.

b) AC∩BD=0. ABCD, fiind romb, ⇒ O este mijlocul diagonalelor AC, BD.

M și N sunt mijloacele laturilor AB respectiv BC .

Atunci, MO linie mijlocie în ΔABC, ⇒ MO║BC, MO=(1/2)·BC=BN. La fel, NO linie mijlocie în ΔABC, ⇒ NO║AB, NO=(1/2)·AB=BM. Atunci MONB este romb.

c) Aria(ABCD)=AB·AD·sin(∡BAD)

Fie ∠BAD nu este unghi obtuz. Atunci, 0<m(∡BAD)≤90°, ⇒0<sin(∡BAD)≤1

Aria(ABCD)=AB·AD·sin(∡BAD)=50·50·sin(∡BAD) cm².

Aria va fi maximă dacă ∡BAD=90°, deci ABCD este pătrat.

Atunci, AC=BD=50√2cm, deci AC+BD=2·50√2=100·√2 cm ≈100·1,414cm ≈141,4cm < 142cm=1,42m.

Deci, AC+BD<1,42m.