2. Enumerați elementele mulțimilor:
a. A = {x ∈ Z | 12 divizibil cu x};
12 divizibil cu x înseamnă că 12 se împarte exact la x (împărțire cu rest 0)
⇒ A este mulțimea divizorilor lui 12
12 = 4 · 3 = 2² · 3
⇒ divizorii naturali ai lui 12 sunt 1, 2, 3, 2², 2·3, 2²·3
Pentru a obține divizorii întregi folosim și numerele negative opuse divizorilor naturali.
A = {-12; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12}
b. B = {x ∈ N | x|18};
x|18 se citește x divide pe 18 și înseamnă că 18 se împarte exact la x
⇒ B este mulțimea divizorilor naturali ai lui 18
18 = 2 · 3²
B = {1; 2; 3; 2·3; 3²; 2·3²} = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
c. C = {x ∈ Z | |x - 1| < 3};
rezolvăm modulul, după exemplul din exercițiu:
|x - 1| < 3 ⇔ - 3 < x - 1 < 3 | +1
-2 < x < 4
⇒ x ∈ {-1; 0; 1; 2; 3}
C = {-1; 0; 1; 2; 3}
d. D = {x ∈ Z | x divizibil cu 2 și -18 < x ≤ 2};
x divizibil cu 2 ⇔ x număr par
⇒ D este mulțimea numerelor pare > -18 și ≤ 2
D = {-16; -14; -12; -10; -8; -6; -4; -2; 0; 2}
e. E = {x ∈ Z I -3|x şi |2x - 1| < 19};
rezolvăm mai întâi modulul:
|2x - 1| < 19
-19 < 2x - 1 < 19 | +1
-18 < 2x < 20 | :2
-9 < x < 10
⇒ x ∈ {-8; -7; -6; ....; 7; 8; 9}
aplicăm și cealaltă condiție:
-3 | x ⇔ x divizibil cu 3 ⇒ selectăm, din mulțimea soluțiilor de la rezolvarea modulului, doar numerele care se împart exact la 3
⇒ E = {-6; -3; 0; 3; 6; 9}
Pentru a afla mulțimea divizorilor naturali ai unui număr natural pașii sunt următorii:
1. se face descompunerea în factori primi a numărului dat
2. se scrie numărul ca produs între 1 și toți factorii primi desfășurați la puterea 1
3. se folosesc proprietățile de asociativitate și comutativitate ale înmulțirii pentru a obține toate variantele unice posibile de scriere a numărului dat ca produs între două numere întregi.
De exemplu:
Să aflăm divizorii naturali ai numărului 30.
pasul 1: 60 = 6 · 10 = 2² · 3 · 5
pasul 2: 60 = 1 · 2 · 2 · 3 · 5
pasul 3:
60 = 1 · (2 · 2 · 3 · 5) = 1 · 60
60 = (1 · 2) · (2 · 3 · 5) = 2 · 30
60 = (1 · 2 · 2) · (3 · 5) = 4 · 15
60 = (1 · 2 · 2 · 3) · 5 = 12 · 5
60 = (1 · 2 · 5) · (2 · 3) = 10 · 6
60 = (1 · 2 · 2 · 5) · 3 = 20 · 3
alte combinații de factori primi care să dea rezultate diferite nu există
scriem termenii în ordine crescătoare:
⇒ divizorii naturali ai lui 60 sunt 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30 și 60
