La etapa finală a unui concurs de matematică, unde au avut de rezolvat o singură problemă, au
participat 5 elevi: Anca, Bianca, Costin, Dan şi Eliza. Fiecare a obţinut un punctaj număr natural de la 2 la
10. Precizati câte puncte a obtinut şi pe ce loc este Dan, stiind că:
a) oricare doi elevi au punctaje diferite;
b) Anca, Bianca şi Costin au obținut impreuna 15 puncte;
c) Bianca, Costin şi Dan au obținut impreună 12 puncte;
d) Anca are cel mai mare punctaj,
e) Eliza are 6 puncte și este pe locul al treilea.

Anca are cel mai mare punctaj, iar Eliza are 6 puncte. Deci Anca poate avea 7,8,9,10 puncte. (elevii au punctaje diferite). Dar Anca nu poate avea 7 puncte, deoarece Eliza pe locul 3, iar Anca pe 1, iar dacă ar avea un singur punct diferență s-ar afla obligatoriu la o poziție distanță. Deci Anca poate avea 8,9,10 puncte.

(din câte cunosc, lipsește informația potrivit căreia Dan are cu 3 puncte mai puțin decât Anca - problema s-a dat la concursul Micii campioni de la Tudor Vianu)

Această informație se poate deduce foarte simplu. Punctajele Biancăi și al lui Costin sunt identice, deci diferența dintre 15 și 12 este egală cu diferența dintre punctajul Ancăi și al lui Dan. Cum Anca are cel mai mare punctaj, rezultă că Dan are cu 3 puncte mai puțin.

Deci, presupunem că Anca are 8 puncte, iar Dan 5. Obligatoriu, un copil trebuie să fie între Anca și Eliza, cu 7 puncte. Cum Bianca și Costin au 7 puncte împreună, iar punctajul minim este 2, obținem contradicție.

Apoi, presupunem că Anca are 9 puncte, iar Dan 6. Contradicție, Dan și Eliza nu pot avea același punctaj.

În final, presupunem că Anca are 10 puncte. Dan are 7 puncte și ocupă locul al doilea. Eliza e pe locul 3 cu 6 puncte. Înseamnă că Bianca și Costin au împreună 5 puncte. 5 poate fi scris atât ca 2+3 cât și ca 4+1, dar cum cum punctajul minim este 2, rezultă cu Bianca (sau Costin) are 2 puncte și Costin (sau Bianca) are 3 puncte.

În final, clasamentul arată așa

1. Anca - 10p

2. Dan - 7p

3. Eliza - 6p

4. Bianca/Costin - 3p

5. Costin/Bianca - 2p

Dan ocupă locul 2 cu 7 puncte.