Răspuns la problema de algebra (vor urma si problemele de geometrie):
a) Prin impartire simpla a polinoamelor, catul este 3x² + 1, iar restul este -1
P(x) = (3x² + x)² - 1 = (3x² + x - 1)(3x² + x + 1)
b) T(x) = P(x) + 2 = (3x² + x)² + 1, care este o suma de patrate si nu are solutii in R.
c)
1. Prin impartirea lui m²x^4 + 2mx^3 + x² - 1 la (x - 1) se obtine rest m² + m. Punand conditia m² + m = 0 => m(m + 1) = 0 si solutiile sunt m1 = 0 si m2 = -1
2) Numaratorul fractiei E(x) este m²x^4 + 2mx^3 + x² - 1. Pentru a se simplifica cu x² - 1, acesta trebuie sa se simplifice cu (x-1) si cu (x+1). Pentru a se simplifica cu (x-1) m trebuie sa fie -1 (m = 0 est interzis de problema), deci N(E(X)) = x^4 - 2x^3 = x^3(x-2), care este clar ca nu accepta ca solutie x = -1 pentru ca solutiile sunt x1 = x2 = x3 = 0 si x4 = 2.
d) 3x² + ax + 1 = 0; 3x² + x + a = 0 Se calculeaza soulutiile:
Pentru prima soultiile sunt: (-a ±√(a² - 12))/6, iar pentru a doua (-1±√(1 - 12a))/6. Se egaleaza aceste doua expresii, se separa radicalii intr-ul mambru si numerele libere in altul si se obtine:
1 - a = ±√(1 - 12a) - (±√(a² - 12)). Se ridica de 2 ori la patrat si dupa calcule si reduceri se obtine ecuatia: a^3 + 2a^2 - 7a + 4 = 0, care are solutie intreaga pe a = -4, deci ecuatiile devin: 3x² - 4x + 1 = 0; 3x² + x -4 = 0. Solutia comuna este x = 1, iar celelalte solutii sunt x = 1/3 pentru prima si x = -4/3 pentru a doua.
