Răspuns:
Explicație pas cu pas:
c) 1. aflăm pp de extrem, unde f '(x)=0, ⇒x(2lnx+1)=0, ⇒x=0 sau 2lnx+1=0, ⇒2lnx=-1. ⇒lnx=-1/2. Dar x=0∉(0;+∞)
[tex]lnx=-\frac{1}{2}, ~=>~x=e^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{\sqrt{e} } ~valabil.\\[/tex]
2. Aflăm natura punctului de extrem cu ajutorul derivatei a doua.
[tex]f''(x)=(x(2lnx+1))'=x'(2lnx+1)+x(2lnx+1)'=2lnx+1+x(2*\frac{1}{x}+0)=2lnx+1+2=2lnx+3.\\[/tex]
[tex]f''(\frac{1}{\sqrt{e} })=2*lne^{-\frac{1}{2} }+3=2*( -\frac{1}{2})lne+3=-1+3=2\geq 0[/tex]
Deci x=1/√e este punct de minim, deci, pt. x∈(0;+∞), f(x)≥f(1/√e)
Calculăm
[tex]f(\frac{1}{\sqrt{e} })=(\frac{1}{\sqrt{e} })^{2}ln\frac{1}{\sqrt{e} }=\frac{1}{e}*lne^{-\frac{1}{2} } =\frac{1}{e}*(-\frac{1}{2})lne=-\frac{1}{2e}.\\ Deci~~f(x)\geq -\frac{1}{2e} ~|*2e~~=>~2e*f(x)\geq -1,~~=>~1+2e*f(x)\geq 0[/tex]
