Răspuns:
Explicație pas cu pas:
(x⁶+xz+yz) este divizor natural a numărului prim 83, deci poate fi 1 sau 83.
Din condiție, x,y,z naturale nenule, deci nu poate fi 1.
⇒x⁶+xz+yz=83 ⇒x⁶+(x+y)·z=83.
x poate fi 1 sau 2, deoarece 3⁶>83.
Pentru x=1, ⇒ 1⁶+(1+y)·z=83, ⇒(1+y)·z=82. Deoarece 82=2·41=41·2=82·1 și 41 e prim, ⇒
1) 1+y=2, z=41, de unde x=1, y=1, z=41
2) 1+y=41, z=2, de unde x=1, y=40, z=2
3) 1+y=82, z=1, de unde x=1, y=81, z=1
(p.s. cazul 1+y=1, z=82 nu convine deoarece y=0).
pentru x=2, ⇒2⁶+(2+y)·z=83, ⇒(2+y)·z=19. 19 e prim, deci 19=1·19=19·1
4) 2+y=1, z=19 nu convine
5) 2+y=19, z=1, de unde x=2, y=17, z=1.
Deci, (x,y,z)=(1,1,41), (1,40,2), (1,81,1), (2,17,1).
