Răspuns:
Explicație pas cu pas:
[tex]a) f '(x)=(\dfrac{lnx}{x})'=\dfrac{(lnx)'*x-lnx*x'}{x^{2}}=\dfrac{\frac{1}{x}*x-lnx*1 }{x^{2}}=\dfrac{1-lnx}{x^{2}}.\\[/tex]
b) Intervalele de monotonie se cercetează cu ajutorul derivate, tabelului semnului derivatei
f '(x)=0, ⇒ 1-lnx=0, ⇒lnx=1, ⇒ x=e
vezi imaginea cu tabelul semnului derivatei
Deci pentru x∈(0; e], functia este monoton cresc[toare, iar pentru x∈[e; +∞), functia este monoton descrescătoare.
c) După definiția derivatei într-un punct, acea limită =f '(1)=(1-ln1)/1²=(1-0)/1=1.
