Ca G să fie un grup sub operația binară (*) , G trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
1) legea asociativă a*(b*c) = (a*b)*c, pentru oricare a, b, c din G;
2) să existe elementul neutru e, unde dacă g se află în G, e * g = g * e = e.
3) dacă g se alflă în G, atunci g^{-1} se află în G și g * g^{-1} = e.
4) pentru oricare g, h în G, g*h se află în G.
Vom verifica toate criteriile: [tex]G = (\mathbb{Z}, \circ)[/tex], unde [tex]a \circ b = ab - a - b - 2[/tex]
[tex]a \circ (b \circ c) = a \circ (bc -b -c - 2) = abc - ab -ac - 2a - a - bc + b + c + 2 = abc - ab - ac - bc - 3a + b + c + 2[/tex]
[tex](a \circ b) \circ c = (ab - a - b - 2) \circ c = abc - ac - bc - 2c - c - ab + a + b + 2 = abc - bc - ab - ac - 3c + a + b + 2[/tex]
De aici observăm că prima cerință nu e satisfăcută deci [tex]G = (\mathbb{Z}, \circ)[/tex] nu e un grup.
