Răspuns:
In orice triunghi echilateral aceeasi dreapta este bisectoare inaltime mediana si mediatoate
a. AD bisectoare in triunghi echilateral => este implicit si inaltime (stim asta din proprietatile triunghiului)
b. BE inaltime intr-un triunghi echilateral => Este implicit si bisectoare (tot din prorpietati) asadar unghiurile sunt egale
c. Punctul F imparte latura AB in doua parti egale. Daca ducem o linie de la F la C vom vedea ca latura FC este de fapt inaltime deoarece in orice triunghi echilateral aceeasi dreapta este bisectoare inaltime mediana si mediatoate (iarasi o proprietate). Inaltimea formeaza unghi drept intotdeauna => AFC = 90 grade
d.BE inaltime => BE mediatoare => AE=AC
e. Aici trebuie demonstrat ca triunghiurile FCB si EBC sunt egale
- latura comuna BC
-unghiul FBC = unghiul ECB (60 grade)
-unghiul FCB = unghiul EBC
=> triunghiuri congruente =>BF=CE
f. Trebuie demonstrat ca triunghiul este echilateral:
-unghiul B stim ca are 60 grade si are o bisectoare
- latura FB = latura BD
- latura FD este egala cu jumatate din AC ( avem trapezul isoscel FACD) deci latura FD = AE si implicit si cu FB si BD
=>BFD echilateral
g. Triunghiul AFE echilateral
Demonstram asta prin aratarea ca triunghiul AFN = tr AEN
- ug FAN = ug EAN
- AN = AN
- AF = AE ( demonstrat anterior)
Din asta rezulta FN = EN => triunghiul AFE echi => AD ( sau AN cum am notat in desen) bisectoare si inaltime (inaltimea e perpendiculara)
h. Intr-un triunghi echilateral toate inaltimile sunt egale (proprietate)
Daca chiar vrei sa si demonstrezi ia triunghiurile care incorporeaza cele trei laturi si arata ca sunt egale.
i. triunghiul AFE = tr FBD = tr ECD => latura FD = latura ED = latura FE
Ca sa demonstram asta luam intai triunghiurile FBD si ECD si aratam ca sunt egale: - FB = EC
-unghiul B = unghiul C
- BD = BC
Apoi aratam ca triunghiul FBD = AFE
unghiul A = B
latura FB = FA
unghiul BFD = FAE
Deci cele trei triunghiuri sunt egale, asadar FE = FD = DE ; avem triunghi echi
j. Intr-un triunghi echi cele trei inaltimi se intalnesc in centrul de greutate ( ceea ce nu prea reiese din desenul meu din pacate dar e o proprietate) Deci punctul G este pe linia inaltimii CF => puncte coliniare
Explicație pas cu pas:
