Răspuns:
Explicație pas cu pas:
M mijlocul laturii AD a dreptunghiului ABCD cu AB=8 si AD=16. ME⊥(ABC), ME=x.
a) x=8. d(E,BD)=???
Trasăm MF⊥BD, F∈BD. După T3⊥, ⇒EF⊥BD. Deci d(E,BD)=EF.
ΔDAB~ΔDFM, ⇒AB/FM=DB/DM. (*)
Din ΔABD, DB²=AB²+AD²=8²+16²=8²+8²·2²=8²·(1+2²)=8²·5. Deci DB=8√5.
Înlocuim în (*), ⇒8/FM=8√5/8, ⇒8/FM=√5, ⇒FM=8/√5.
Din ΔEMF, ⇒EF²=x²+FM²=8²+(8/√5)²=8²·(1+ 1/5)=8²·(6/5). Deci EF=8√(6/5)=(8/5)·√30.
b) x=?=ME, dacă BE⊥DE.
⇒ΔBED dreptunghic, ⇒BD²=BE²+DE² (**)
Din ΔBEM, ⇒BE²=BM²+x²=(8√2)²+x²=128+x². Din ΔDEM, ⇒DE²=x²+DM²=x²+8²=x²+64. Înlocuim în (**), ⇒(8√5)²=128+x²+x²+64, ⇒320=2x²+192, ⇒2x²=108, ⇒x²=54=9·6. Deci x=3√6.
c) x=???=EM, dacă ΔBED este isoscel.
BE>DE, deci BE=BD=8√5.
Din ΔBEM, ⇒x²=BE²-BM²=(8√5)²-(8√2)²=8²·5-8²·2=8²·(5-2)=8²·3.
Deci x=8√3.
