Salut,
Pentru rangul matricilor A și B, avem în general proprietatea:
Rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal decât rangul fiecărei matrice:
rang(A·B) ≤ min(rangA, rangB) (1)
Din enunț avem că:
4(AB)³ + 3(AB)² + 2(AB) = --Im ⇔
⇔ AB·[4(AB)² + 3(AB) + 2] = --Im (2).
Știm că determinantul produsului de matrice este produsul determinanților acelor matrice. Aplicăm asta la relația (2) de mai sus:
det(AB)·det[AB·[4(AB)² + 3(AB) + 2]] = det(--Im), dar det(--Im) = ±1, deci:
det(AB)·det[AB·[4(AB)² + 3(AB) + 2]] = ±1 ⇒ det(AB) ≠ 0.
A ∈ Mm,n(R) și B ∈ Mn,m(R) => matricea produs AB ∈ Mm,m(R) ⇒
⇒ rang(AB) = m ≥ n (este mai mare decât n conform ipotezei) (3).
AB ∈ Mm,m(R) deci matricea AB este una pătratică.
Reluăm proprietatea (1) și avem că:
rang(A·B) ≤ min(rangA, rangB) ⇒ m ≤ n (4), pentru că rangul minim al matricelor A și B este n.
Din (3) și (4) avem așa: m ≥ n și m ≤ n, deci m = n.
Răspunsul corect este deci d.
Baftă la admitere !
Green eyes.
