Răspuns:
Consider piramida regulata VABCDE, V- varf, ABCD- baza. ( patrat).
Ni se cere sinusul unghiului dintre VA si VC ( de ex). - sin(VA,VC)- pe care
il vom exprima din ΔVAC isoscel.
A ABCD= 48 cm²
A ABCD= l² =>> l²=48 => l= 4√3 cm => AB=BC= 4√3 cm ( laturile patratului sunt egale)
Vom calcula si diagonala AC=BD=l√2=4√3*√2=4√6 cm
ΔVBC isoscel cu baza [BC]
Fie F mijl. [BC] => [VF] mediana ==> [VF] inaltime => VF⊥ BC
A ΔVBC= b*h/2=CD*AF/2
A ΔVBC= 32√3 cm² =>> BC*VF/2 = 32√3 => 4√3*VF/2 =32√3
=> VF= 2*32√3/4√3 = 16 cm.
Fie O centrul bazei ABCD, {O}= AC∩CD
VO ⊥ (ABC)
OF ⊂ (ABC) ==> VO ⊥ OF => ΔVOF dreptunghic cu m(∡VOF)=90°.
AC ⊂ (ABC) ==> VO ⊥ BD , deci VO e h si in ΔVAC
Avem nevoie de OF.
Cum ABCD patrat, O centru => O mijloc [AC], [BD]
O mijl. [AC]
F mijl. [BC] ( FB=FC=BC/2=2√3 cm) => [OF] linie mijlocie in Δ ABC => OF ║ AB, OF= AB/2= l/2=4√3/2= 2√3 cm.
In ΔVOF dreptunghic. Aplicam Teor. lui Pitagora si avem:
VF²=VO² + OF² => VO²=VF²-OF² => VO²= 16²-(2√3)²= 256-12=244 => VO= 2√61 cm
Exprimam aria ΔVAC in 2 moduri.
A ΔVAC = b*h/2 = AC*VO/2
A Δ VAC= VA*VC*sin(VA,VC)/2
=> AC*VO = VA*VC* sin(VA,VC) ( eliminam numitorul 2)
=> sin(VA,VC)= AC*VO/VA*VC
Trebuie sa calculam muchia laterala VA=VC=VB.
Revenim in ΔVBC.
Separat, ΔVFC dreptunghic ( VF⊥BC) => cu Pitagora, VC²=VF²+FC² => VC²=16²+(2√3)² => VC²=256+12=268 => VC= 2√67 cm=VA
Deci, sin(VA,VC)= 4√6*2√61/2√67*2√67
sin(VA,VC)= 2√366/67
Sper că te-am ajutat! ..
