Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Consideram ca ΔABC echilateral, AB=8cm. AA'=8√2cm.
b) m(∡(A'C,BC'))=???
Construim punctul E=S(C)A (simetricul lui A față de C). Atunci AC=CE=8cm.
Atunci C'E║A'C, deci m(∡(A'C,BC'))= m(∡(C'E,BC')).
BC'=C'E. Din ΔCCC', dupa Pitagora, ⇒BC'=BC²+CC'²=8²+(8√2)²=8²+8²·2=8²·(1+2)=8²·3. Deci BC'=8√3cm=C'E.
In ΔABE, BC=AC=CE, ⇒ΔABE este dreptunghic in B, deci BE²=AE²-AB²= 16²-8²=8²·2²-8²=8²·(2²-1)=8²·3, deci BE=8√3cm=BC'=C'E, ⇒ΔBC'E este echilateral, deci m(∡(C'E,BC'))=60°=m(∡(A'C,BC')).
c) B∈(BA'C'), si B∈(ABC). Atunci linia de intersectie a acestor plane va trece prin B si va fi paralela dreptei A'C'. Trasam asa o dreapta.
In planul (ABC) trasam prin A o dreapta perpendiculara, fie AD. Deci
AD=(A'BC')∩(ABC). Deoarece AD⊥BD, dupa T3⊥, ⇒A'D⊥BD. Deci tr. sa aflam A'D. m(∡BAC)=60°, ⇒m(∡BAD)=30°. Atunci, dupa T unghiului de 30°, ⇒BD=(1/2)·AB=(1/2)·8=4cm. Atunci, din ΔABD, ⇒AD²=AB²-BD²=8²-4²= 4²·2²-4²=4²·(2²-1)=4²·3.
Atunci din ΔA'AD, ⇒A'D²=A'A²+AD²=(8√2)²+4²·3=8²·2+4²·3=4²·2²·2+4²·3= 4²·(8+3)=4²·11. Deci A'D=4√11cm.
