Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ΔABCD regulat, fie AD, BE mediane, iar O centru de greutate.
∡((VBC),(ABC))=∡ADV, deoarece BC⊥AD si BC⊥VD, ⇒BC⊥(ADV).
Deci sin(∡((VBC),(ABC)))=sin(∡ADV). Din ΔABD, AD=6√3cm, deci OD=(1/3)·AD=(1/3)·6√3=2√3.
ΔVBC, isoscel, cu baza BC. VD⊥BC, din ΔVBD, VD²=VB²-BD²=10²-6²=8², deci VD=8cm.
Din ΔVOD, VO⊥OD, VO²=VD²-OD²=8²-(2√3)²=64-12=52=4·13, deci VO=2√13cm.
sin(∡ADV)=sin(∡ODV)=VO/VD=(2√13)/8=√13/4=sin(∡((VBC),(ABC))).
b) Trasam BM⊥AV, deci si CM⊥AV, deci AV⊥(BMC). Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, deci BM=CM. ∡((ABV),(ACV))=∡BMC.
Aplicăm formula ariei, ⇒BC·VD=AV·BM. Inlocuim, 12·8=10·BM, ⇒BM=9,6cm=CM. Din teorema cosinusului, in ΔBCM, ⇒BC²=BM²+CM²-2·BM·CM·cos(∡BMC), ⇒12²=9,6²+9,6²-2·9,6·9,6·cos(∡BMC), ⇒ 12²=2·9,6²·(1-cos(∡BMC)), ⇒
[tex]1-cos(BMC)=\dfrac{12^{2}}{2*9,6^{2}}=\dfrac{12*12*100}{2*96*96}=\dfrac{25}{32} \\deci~cos(BMC)=1-\dfrac{25}{32}=\dfrac{7}{32}[/tex]
