Triunghiul dreptunghic ABC are catetele AB = 12cm și AC = 16cm.
Se știe că AD- bisectoarea unghiului BAC, D∈BC, DE ⊥ AB, E ∈ AB
și DF ⊥ AF, F∈AC.
a) Determinați natura patrulaterului AEDF
b) Arătați că DE/AC + DF/AB = 1
Rezolvare:
a) Patrulaterul AEDF are unghiurile din A, E, F drepte, deci și unghiul din D va fi drept, deoarece suma celor patru unghiuri este 360°.
Așadar, AEDF = dreptunghi (1)
AD- bisectoare pentru ∡A (2)
(1), (2) ⇒ AEDF = pătrat.
b)
[tex]\it \mathcal{A}_{ABC} =\mathcal{A}_{ABD}+\mathcal{A}_{ADC} \Rightarrow \dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{AB\cdot DE}{2}+\dfrac{AC\cdot DF}{2}\ \ \ \ \ (3)\\ \\ \\ DE=DF (laturi\ ale\ p\breve{a}tratuluiu\ AEDF)\ \ \ \ (4)\\ \\ \\ (3),\ (4) \Rightarrow 12\cdot16=DF(12+16) \Rightarrow DF=\dfrac{12\cdot16}{28}[/tex]
[tex]\it \dfrac{DE}{AC}+\dfrac{DF}{AB}=\dfrac{DF}{16}+\dfrac{DF}{12}=DF\Big(\dfrac{1}{16}+ \dfrac{1}{12}\Big)=\dfrac{12\cdot16}{28}\cdot\dfrac{28}{16\cdot12}=1[/tex]
