Well, asimptota va avea forma generala y = mx + n
Stim ca in cazul asta:
[tex]m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} \\ n = \lim_{x \to -\infty} (f(x)-mx)[/tex]
Sa vina calculele
[tex]m= \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-x }{x}[/tex]
Factor comun fortat sub radical pe x patrat si avem
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} } -x}{x}[/tex]
Stim ca
[tex]|x|=\left \{ {{x, x\geq0 } \atop {-x,x<0}} \right.[/tex]
In cazul nostru x tinde catre - infinit, care e o valoare negativa, deci |x| - ul ala o sa fie = -x
Acum factor comun pe x, simplificare, si in final o sa dea m = -2.
Acum pt n:
[tex]\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x+1}-x+2x )= \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x+1}+x)[/tex]
Putem amplifica cu conjugatul
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x+1}+x)(\sqrt{x^2+x+1}-x) }{\sqrt{x^2+x+1}-x}[/tex]
Clasic, sus avem (a-b)(a+b) = a^2 - b^2
Toata asta o sa ne dea la numarator x+1. Deci am ajuns la
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}-x}[/tex]
Aceeasi chestie ca la m, factor comun fortat sub radical, modul, simplificari, all the good jazz:
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{x(1+\frac{1}{x} )}{x(-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} }-1 )}[/tex]
Si in final n = - 1/2
In sfarsit, ecuatia asimptotei la - infinit e y = mx + n = -2x - 1/2
Daca ai vreo neclaritate, lasa un comm si o sa revin
