Răspuns:
Explicație pas cu pas:
sa cercetam monotonia functiei cu ajutorul derivatei.
[tex]f'(x)=(\frac{x}{x+1})'+(\frac{x+1}{x+2})'=\frac{x'(x+1)-x(x+1)'}{(x+1)^{2}}+\frac{(x+1)'(x+2)-(x+1)(x+2)'}{(x+2)^{2}} =\frac{x+1-x}{(x+1)^{2}}+\frac{x+2-x-1}{(x+2)^{2}}=\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(x+2)^{2}}=\frac{(x+2)^{2}+(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)^{2}} >0,~[/tex]
deci f'(x)>0, pt. ∀x∈[0;+∞), atunci functia data este strict crescatoare pe acest interval.
Pentru x=0, f(0)=1/2. Deci f(x)≥1/2.
Calculam limita la +∞.
[tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)= \lim_{x \to +\infty} (\frac{x}{x+1)}+\frac{x+1}{x+2} )= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x} + \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x} =1+1=2.[/tex]
deci y=2 este o asimptota orizontala a functiei, deci 1/2≤f(x)<2.
