Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ΔABC echilateral, AB=12cm, AP⊥(ABC), AP=6cm.
a) Aria(ΔABC)=AB²·√3/4=12²·√3/4=36√3cm².
b) d(P,C)=PC. ΔPAC dreptunghic in A, AC=12, PA=6, T.P. ⇒PC²=PA²+AC²=6²+12²=6²+6²·2²=6²·(1+4)=6²·5. Deci PC=√(6²·5)=6√5cm.
c) d(P,BC)=??? Fie D mijlocul lui BC. Deoarece ΔABC echilateral, atunci mediana AD este si inaltime, deci AD⊥BC. Atunci, dupa T3⊥, ⇒PD⊥BC. Din ΔABD, dreptunghic in D, AD²=AB²-BD²=12²-6²=(12-6)·(12+6)=6·6·3=6²·3
Deci AD=6√3cm. Din ΔPAD, PD²=PA²+AD²=6²+6²·3=6²·4. Deci PD=√(6²·4)=6·2=12cm=d(P,BC).
d) m(∡((PBC),(ABC)))=???
(PBC)∩(ABC)=BC, BC⊥AD, BC⊥PD, deci BC⊥(PAD), ⇒
m(∡((PBC),(ABC)))=m(∡PDA). Deoarece ΔPDA dreptunghic si PA=(1/2)·PD, ⇒m(∡PDA)=30°= m(∡((PBC),(ABC))).
