Răspuns:
Explicație pas cu pas:
M=S(AC)B, ⇒BM⊥AC si BD=DM, unde D=BM∩AC.
N=S(AB)C, ⇒CN⊥AB si CE=EN, unde E=CN∩AB.
ΔBDC≡ΔCEB, ca dreptunghice cu ipotenuza BC comuna si unghi alaturat ascutit ei (criteriul IU), ∡BCE≡∡CBD=60°, ca unghiuri a ΔABC, echilateral.
Din ΔBDC≡ΔCEB, ⇒BD=CE, atunci BM=CN, deoarece BM=2·BD, iar CN=2·CE.
b) ΔBCE≡ΔANE, ca dreptunghice dupa criteriul CC(cateta, cateta), CE=AE, deoarece daca CE este inaltime in ΔABC, atunci este si mediana. CE=NE. Atunci, ∡BCE≡∡ANE, dar ele fiind alterne interne la dreptele BC si AN cu secanta CN, ⇒BC║AN.
Analog, din ΔBCD≡MAD, ⇒BC║MA. Deoarece prin punctul A trece o unica paralela la BC, ⇒dreptele AN si AM coincid, adica punctele A,M,N sunt coliniare.
c) In patrulaterul BCMN, stim deacum ca BC║MN, deci este trapez. Pentru a demonstra ca este isoscel, tr. sa aratam ca BN=CM.
ΔABC≡ΔABN, deoarece AB comuna si ∠ABC≡∠BAN, AN=BC din ΔBCE≡ΔANE. ⇒BN=AC=AB.
Analog deducem ca CM=AM=AC. deci BN=CM, ⇒ BCMN trapez isoscel.
Atunci Aria( BCMN)=3*Aria(ΔABC)=3*AB²·√3/4=3·6²·√3/4=27√3cm².
