Explicație pas cu pas:
Calculam discriminantul.
[tex]delta = {b}^{2} - 4ac[/tex]
Unde avem, din ecuatia noastra
a=1
b=-2m
c=m-1.
Prin urmare,
[tex]delta = {( - 2m)}^{2} - 4 \times 1 \times (m - 1) = > \\ delta = 4 {m}^{2} - 4m + 4[/tex]
In functie de semnul lui delta, stim ce fel de solutii are ecuatia, in cazul in care are solutii. Stim ca daca delta>0 ecuatia are doua solutii reale distincte, daca delta=0 ecuatia are doua solutii reale egale (o radacina dubla) si daca delta<0 ecuatia nu are solutii reale.
Prin urmare, trebuie sa analizam semnul lui delta. Atasam o functie de gradul doi pentru delta,
[tex]f(m) = 4 {m}^{2} - 4m + 4[/tex]
Calculam discriminantul pt aceasta functie.
[tex]delta = {b}^{2} - 4ac[/tex]
Unde a=1,b=-4 si c=4
[tex]delta = {( - 4)}^{2} - 4 \times 4 \times 4 = 16 - 64 = - 48 < 0[/tex]
Din teorie stim ca daca delta <0=> semnul functiei este dat de semnul lui a. In cazul nostru, a=1>0, deci f(m) >0, oricare m apartinand multimii numerelor reale. Prin urmare,
[tex]delta = 4 {m}^{2} - 4m + 4 > 0 \: oricare \: m \: apartinand \: multimii \: numerelor \: reale[/tex]
Cu alte cuvinte, discriminantul ecuatiei din probleme e mai mare ca zero mereu, deci are doua solutii distincte, oricare ar fi valoarea lui m.
Pentru cerinta de la punctul b, ne folosim de relatiile lui Viete.
[tex]s = - \frac{b}{a} [/tex]
[tex]p = \frac{c}{a} [/tex]
Unde a=1, b=-2m, c=m-1.
Deci,
[tex]s = - \frac{( - 2m)}{1} = 2m[/tex]
[tex]p = \frac{m - 1}{1} = m - 1[/tex]
Stim ca suma solutiilor e 2m si produsul m-1. Daca m e mai mare ca 0, cum ne spune in ipoteza, inseamna ca produsul p>-1 si suma s>0.
De aici rezulta concluzia ca cele doua solutii sunt >-1.
