Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ΔABC echilateral, deci unghiurile sunt de 60° si toate laturile egale. AB=12cm si BM=MN=NC.
a) Aria(ΔABC)=(1/2)·AB·AC·sin(∡A)=(1/2)·12·12·sin60°=6·12·√3/2=36√3cm².
b) d(N,AB)=ND, unde D∈AB, ND⊥AB.
⇒ΔNDB este dreptunghic, m(∡B)=60°, ⇒m(∡BND)=30°, atunci BD=(1/2)·BN. BN=(2/3)·BC=(2/3)·12=8cm. Atunci BD=(1/2)·BN=(1/2)·8=4cm.
Dupa T.P. ⇒ND²=BN²-BD²=8²-4²=64-16=48=16·3, deci ND=√(16·3)=4√3cm=d(N,AB).
c) Aria(ΔBAM)=(1/3)·Aria(ΔABC)=(1/3)·36√3=12√3cm².
Dar, Aria(ΔBAM)=(1/2)·AB·AM·sin(∡BAM)=12√3.
Avem de aflat AM. ΔAMN este isoscel, deoarece AM=AN, ce rezulta din congruenta ΔABM≡ΔACN (criteriul LUL).
Fie AE mediana in ΔAMN, E∈MN. ⇒AE⊥MN.
Din ΔABE, AE²=AB²-BE²=12²-6²=6²·2²-6²=6²·(2²-1)=6²·3.
Din ΔAME, ME=(1/2)·MN=(1/2)·4=2cm. T.P. ⇒AM²=AE²+ME²=6²·3+2²=2²·3³+2²=2²·(3³+1)=2²·28=4·4·7, deci AM=√(4·4·7)=2·2√7=4√7cm
Acum inlocuim in (1/2)·AB·AM·sin(∡BAM)=12√3, ⇒(1/2)·12·4√7·sin(∡BAM)=12√3, ⇒24√7sin(∡BAM)=12√3 |:12, ⇒2√7sin(∡BAM)=√3, ⇒
[tex]sin(BAM)=\frac{\sqrt{3} }{2\sqrt{7} } =\frac{\sqrt{3}*\sqrt{7} }{2*(\sqrt{7})^{2} }=\frac{\sqrt{21} }{2*7}=\frac{\sqrt{21} }{14}[/tex]
