In rezolvare nu am mai scris [tex] sin^{2} x[/tex], am preferat sa scriu [tex]sin^{2} [/tex], la fel si cu celelalte notiuni. :)
a) [tex] sin^{2} = \frac{ tg^{2} }{1+ tg^{2} } [/tex]
Stiim ca [tex]tg= \frac{sin}{cos} [/tex], si inlocuim:
[tex]sin^{2} = \frac{\frac{ sin^{2} }{ cos^{2}} }{1+\frac{ sin^{2} }{ cos^{2}}} \\ \\ sin^{2}= \frac{\frac{ sin^{2} }{ cos^{2}} }{ \frac{ sin^{2} + cos^{2} }{ cos^{2} } }[/tex]
Stiim ca [tex]sin^{2} + cos^{2} =1[/tex] (Formula fundamentală a trigonometriei), si inlocuim:
[tex] sin^{2} =\frac{ sin^{2} }{ cos^{2}} * \frac{ cos^{2}}{1} \\ \\ sin^{2} = \frac{ sin^{2} }{1} [/tex]
Astfel ajungem la o propozitie adevărată.
b)[tex] \frac{1}{ sin^{2} } + \frac{1}{ cos^{2} } = (tg+ctg)^{2} [/tex]
Stiim si că: [tex]ctg= \frac{cos}{sin} [/tex], si inlocuim:
[tex] \frac{1}{ sin^{2}} + \frac{1}{ cos^{2}} = (\frac{sin}{cos}+ \frac{cos}{sin}) ^{2} \\ \\ \frac{1}{ sin^{2}} + \frac{1}{ cos^{2}}= (\frac{ sin^{2}+ cos^{2} }{cos * sin} )^{2} \\ \\ \frac{1}{ sin^{2}} + \frac{1}{ cos^{2}} = \frac{1}{ sin^{2}* cos^{2} } [/tex]
Inmultim ambii membrii cu [tex] sin^{2} *cos^{2} [/tex] :
[tex] \frac{ cos^{2}* sin^{2}}{ sin^{2} } + \frac{cos^{2}* sin^{2}}{ cos^{2} } =1 \\ \\ cos^{2} + sin^{2} =1[/tex]
, ajungând chiar la formula fundamentala a trigonometriei, așadar la o propozitie adevarata.
Sper ca ti-am fost de ajutor. :)
