Daca notez cu S prima paranteza a lui A, atunci avem:
[tex]2S=\dfrac{2}{1\cdot3}+\dfrac{2}{3\cdot5}+\dfrac{2}{5\cdot7}+...+\dfrac{2}{2013\cdot2015}=[/tex]
[tex]=\dfrac{3-1}{1\cdot3}+\dfrac{5-3}{3\cdot5}+\dfrac{7-5}{5\cdot7}+...+\dfrac{2015-2013}{2013\cdot2015}=[/tex]
[tex]=\dfrac{3}{1\cdot3}-\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{5}{3\cdot5}-\dfrac{3}{3\cdot5}+\dfrac{7}{5\cdot7}-\dfrac{5}{5\cdot7}+...[/tex]
[tex]...+\dfrac{2015}{2013\cdot2015}-\dfrac{2013}{2013\cdot2015}=[/tex]
Dupa simplificari
[tex]=\dfrac11-\dfrac13+\dfrac13-\dfrac15-\dfrac15+\dfrac17-\dfrac17+...+\dfrac{1}{2013}-\dfrac{1}{2015}=[/tex]
dupa ce reducem termenii asemenea
[tex]=1-\dfrac{1}{2015}=\dfrac{2014}{2015}[/tex]
In continuare este simplu de constatat ca
[tex]A=\dfrac{3^{n+1}}{2}[/tex]
Metoda aceasta de calcul a sumei se poate aplica la foarte multe sume de acest gen.
