Răspuns :
O paralelă DE la baza BC a unui triunghi ABC împarte laturile AB și AC în părți proporționale : Demonstrație pentru segmente comensurabile[modificare | modificare sursă]Cazul AD = DB[modificare | modificare sursă]Cazul AD = DBÎn acest caz, se prelungește DE până întâlnește în M paralela dusă prin C la AB. Așadar DM || BC și MC || DB, deci DMCB este un paralelogram iar DB = MC.Atunci: AD = DB = MC.Rezultă că triunghiurile ADE și CME sunt egale (cazul ULU de egalitate). În concluzie, AE = EC șiAE:EC = AD:DB ( = 1 )Linia mediană a unui trapez[modificare | modificare sursă]DE este linia mediană a unui trapezÎn trapezul AA'BB' se duce prin A o paralelă la A'B' , care taie DE și BB' în M, respectiv N.Se știe deja că AM = MN. Cum AMEA' și MNB'E sunt paralelograme, rezultă: A'E = AM = MN = EB', A'E:EB' = AM:MN = AD:DB șiA'E:EB' = AD:DBSegmente comensurabile[modificare | modificare sursă]Pentru ca demonstrația să poată fi facută, trebuie ca linia MN să taie AB în segmente AM și MB comensurabile (care au ca lungime multiplii unei aceleiași unități de măsură)Fără a pierde din generalitate, să presupunem că AM:MB = 5:3. Se duc linii paralele cu baza BB' prin punctele care reprezintă măsura comună a segmentelor AM și MB. Liniile paralele vor împărți A'B' deasemenea în segmente egale, pentru că fiecare trei paralele alăturate trasează un trapez și linia lui mediană. Așadar A'N:NB' este deasemenea egal cu 5:3. În concluzie,AM:MB = A'N:NB' Q.E.D.Limita acestui raționament[modificare | modificare sursă]este dată de existența segmentelor incomensurabile, cum ar fi de pildă 1:√2. Oricum, un astfel de raport poate fi oricât de bine aproximat prin numere raționale (adică prin segmente comensurabile)AM:MB ≈ A'N:NB'Demonstrația lui Euclid[modificare | modificare sursă]Euclid face apel la raportul unor arii :AD:DB = aria(AED):aria(DEB) = aria(ADE):aria(EDC) = AE:EC1) Triunghiurile AED și DEB au aceeași înălțime h. Așadar raportul ariilor este egal cu raportul bazelor AD și DB.2a) Triunghiurile BDC și BEC au aceeași arie, pentru că au aceeași înălțime, care este distanța dintre paralelele BC și DE.2b) Atunci aria(AED):aria(DEB) = aria(ADE):aria(EDC) și care, mai departe,3) Este egală cu raportul segmentelor AE și EC, pentru că cele două triunghiuri au aceeași înălțime h'. Q.E.D.Deficiența demonstrației prin ”feliere” în fața demonstrației lui Euclid va fi compensată mult mai aproape de zilele noastre, prin dezvoltarea analizei matematice, care studiază însumarea unui număr tot mai mare de cantități din ce în ce mai mici. Odată clarificate noțiunile de număr real, corp și spațiu vectorial, teorema lui Thales reapare în matematica modernă sub numele de „omotetie”.Reciproca teoremei lui Thales[modificare | modificare sursă]Dacă o dreaptă determină pe două din laturile unui triunghi, sau pe prelungirile acestora, segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură a triunghiului.Dacă:atunci: