Intai
studiem injectivitatea functiei :
Derivata functiei f
este:[tex]f'(x)=\pi^{-x}(\pi^{2x}+1)ln\pi>0,\forall x\in R=>f \
strict \ crescatoare \ pe\ R=>\\ =>f \ injectiva \ pe \
R[/tex]
Studiem surjectivitatea:
[tex](\forall)y \in R (\exists)x\in R \ astfel \ incat\ f(x)=y\\
[/tex][tex]\pi^x-\pi^{-x}=y\\
\pi^{x}- \frac{1}{\pi^{x}} =y\\
Notam\ \pi^{x}=t\\
t-\frac{1}{t}=y=>t^2-ty-1=0\\
t_{1/2}= \frac{y\pm\sqrt{y^2+4}}{y}=>\\
\pi^x= \frac{y+\sqrt{y^2+4}}{y}=> logaritmam \ in \ baza \pi\\
x=log_{\pi}\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{y} \in R,\forall y \in R[/tex]
In concluzie, functia este si surjectiva pe R.
In final, functia f este bijectiva pe R.
