1)
2a6b
2+ 6 = 8
Pentru a fi divizibil cu 3 mai trebuie sa adaugam 1
8 + 1 = 9
=> 2061 dar asta e cel mai mic si avem nevoie de cel mai mare.
Daca am rezolvat problema cu divizibilitatea, trebuie doar sa adaugam cifre multiplu de 3.
Pe pozitia lui a adaugam un 9 => 0 + 9 = 9
Pe pozitia lui b, adaugam un 6 => 1 + 6 = 7
Mai mult de atat nu se poate.
=> 2967 cu a = 9 si b = 7 este cel mai mare numar posibil.
Numerele sunt: 2967; 2964; 2961; 2667; 2664; 2661
2)
Asta e problema pe care o putem rezolva calculand ultima cifra.
Dar cred ca scapam mai ieftin.
5 este numar impar, si un numar impar ridicat la orice putere, tot impar ramane
3 este in aceeasi situatie ca 5, e tot impar la orice putere.
Suma sau diferenta a doua numere impare, are ca rezultat un numar par.
Adica divizibil cu 2
cctd
3)
Aici va trebui sa folosim "ultima cifra".
6^2013 - 3^2012
Uc(6 la orice putere) = 6
Uc(3^2012) = Uc [3^(4 * 503)] = Uc [(3^4)^503] = Uc(81^503) = 1
6 - 1 = 5
=> numarul C este divizibil cu 5
4)
3a + 16b = 54
16b este numar par
54 este numar par
=> 3b trebuie sa fie numar par dar 3 este impar iar a este numar prim.
Avem nevoie ca a sa fie numar par dar si prim.
Singurul numar prim si par este 2
=> a = 2
3 * 2 + 16b = 54
b = (54 - 3*2) / 16 = 48 / 16 = 3
=> 3 * 2 + 16 * 3 = 54
=> a = 2 si b = 3
5)
7a + 16b = 94
Din acelasi rationament ca la ex. 4, 7a trebuie sa fie par.
=> a = 2
7 * 2 + 16b = 94
b = (94 - 7 * 2) / 16 = 80 / 16 = 5
=> 7 * 2 + 16 * 5 = 94
=> a = 2 si b = 5
6)
2a + 5b + 6c = 74
2a, 6c si 74 sunt pare
=> 5b trebuie sa fie par
=> b = 2
Alegem pentru c cel mai mare numar prim ca sa ramana pentru a mai putin pentru a nu risca ca a sa nu fie prim.
=> c = 7
a = (74 - 5 * 2 - 6 * 7) / 2 = (74 - 52) / 2 = 22 / 2 = 11
=> 2 * 11 + 5 * 2 + 6 * 7 = 74
=> a = 11, b = 2 si c = 7
7)
240 = 2^4 * 3 * 5
150 = 2 * 3 * 5²
cmmdc = 2 * 3 * 5 = 30
8)
240 = 2^4 * 3 * 5
150 = 2 * 3 * 5²
cmmmc = 2^4 * 3 * 5² = 1200
9)
Numarul cautat este cmmmc (24, 48, 40) + 17
24 = 2³ * 3
48 = 2^4 * 3
40 = 2³ * 5
cmmmc + 17 = 2^4 * 3 * 5 + 17 = 240 + 17 = 257
10)
Numarul cautat este: cmmmc (12, 15, 27) + 3
12 = 2² * 3
15 = 3 * 5
27 = 3³
cmmmc + 3 = 2² * 3³ * 5 + 3 = 540 + 3 = 543
