Stim ca numerele consecutive impare sunt generatoare de patrate perfecte.
Primul patrat perfect este 1
1 + 3 = 4
4 + 5 = 9
9 + 7 = 16
16 + 9 = 25
=> 1+3+5+7+9+11+13+15+17....................
Oriunde ne oprim si calculam suma pana acolo vom gasi un patrat perfect
De exemplu ddaca le adunam pe toate pana la 17 obtinem 81.
Daca avem un patrat perfect si vrem sa gasim numarul prim care adunat cu el pentru a obtine urmatorul patrat perfect folosim formula:
n² este patratul perfect
2√n² + 1 = 2n+1 este numarul impar care ne duce la urmatorul patrat perfect.
Proba
n² + 2n + 1 = (n+1)²
Daca avem un numar prim si vrem sa calculam patratul perfect precedent cu care sa il adunam pentru a obtine tot un patrat perfect folosim formula:
k este numarul prim
patratul precedent este:
[(k -1)/2]²
Sa revenim la problema noastra:
87 + n² este un patrat perfect.
Am putea sa gasim numarul n² plecand de la numarul prim 87
n = (87 -1) / 2 = 43
43² + 87 = 1849 + 87 = 1936 = 44²
Dar solutia nu este corecta deoarece problema cere cel mai mic numar natural.
Trebuie sa descompunem pe 87 in suma de numere impare consecutive.
Tinand cont ca 87 este divizibil cu 3, => 87:3 = 29
=> termenii sunt: 27 + 29 + 31
Plecand de la numarul prim 27, cautam patratul perfect prcedent:
n = (27 - 1)/2 = 13
n² = 13² = 169
169 + 27 + 29 + 31 = 256 = 16²
sau 169 + 87 = 256 = 16²
=> n = 13
