[tex]f(x)=|x^2-x-2|[/tex]
Explicitam modulul:Determinam intai semnul functiei de gradul II.
Solutiile ecuatiei [tex]x^2-x-2=0[/tex] aunt -1 si 2.
Dupa cum stim, intre radacinile functiei de gradul 2 avem semn contrar lui a (coeficientul lui x^2) si in afara semnul lui a.
[tex]f(x)= \left \{ {{x^2-x-2 , x\in(-\infty;-1]U[2;+\infty)} \atop {-(x^2+x+2).x\in(-1;2)}} \right. [/tex]
[tex]f'(x)= \left \{ {{2x-1,x\in(-\infty;-1)U(2;+\infty)} \atop {-2x+1,x\in(-1;2)}} \right. [/tex]
Studiem derivabilitatea in -1 si 2.
[tex]\displaystyle f'_{s}(-1)= \lim_{x \to -1,x<-1} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} =\lim_{x \to -1,x<-1} \frac{x^2-x-2}{x+1)} =\\
[/tex]
[tex]\displaystyle lim_{x \to -1,x<-1} \frac{(x+1)(x-2)}{x+1} =lim_{x \to -1,x<-1} (x-2)=-3[/tex]
Analog se calculeaza cealalta limita la dreapta.
[tex]f'_{d}(-1)=3[/tex]
Cele doua limite nefiind egale, deducemca f nu este derivabila in -1.
Analog se arata ca derivatele laterale in 2 nu sunt egale si in consecinta, f nu este derivabila in 2.
In final, f este derivabila pe R-{-1,2}.
