Fie numarul complex z=cos(2π/11)+isin(2π/11).Folosind formula lui Moivre obtinem: z^11=cos2π+isin2π=1=>z^11-1=0=> (z-1)(z^10+z^9+z^8+...+z+1)=0=> z^10+z^9+z^8+...+z+1=0=> z^10+z^9+z^8+...+z=-1=> z+z^2+z^3+z^4+z^5=-1-(z^10+z^9+z^8+z^7+z^6) Partea reala a numarului z^10 este cos(20π/11)=cos(22π/11-2π/11)=cos(2π-2π/11)= =cos(2π/11) si este egala cu partea reala a lui z. Analog se arata ca partile reale ale lui z^9,z^8,z^7,z^6 sunt egale cu partile reale ale numerelor z^2,z^3,z^4,z^5.In concluzie, z+z^2+z^3+z^4+z^5=-1-(z+z^2+z^3+z^4+z^5)=> z+z^2+z^3+z^4+z^5=-1/2
