Cerinta se mai poate scrie si ca egalitatea a doua rapoarte:
AM/MP=MN/AM
Din paralelismul AB||DC, adica AB||DP avem triunghiurile
asemenea: MAB si MPD, cu unghiurile MPD si MAB congruente, respectiv MDP si MBA
congruente (ca unghiuri alterne interne congruente, formate de paralelele
DP||AB cu secantele AP, respectiv DB), iar unghiul BMA congruent cu unghiul DMP
ca unghiuri opuse la varf., deci cazul de asemanare (U.U.U.)
Din asemanarea celor doua triunghiuri rezulta ca laturile
respectiv opuse la unghiurile congruente sunt in rapoarte egale (raport de
asemanare):
AM/MP=MB/DM pe care o notam ca relatia (1)
La fel, din paralelismul laturilor paralelogramului avem
AD||BC si atunci triunghiul AMD este asemenea cu triunghiul MNB (U.U.U.) cu
explicatia asemanatoare ca mai sus si avem raortul de asemanare:
MB/DM=MN/AM notam ca
relatia (2)
Din relatia (1) si relatia (2), folosind tranzitivitatea
(daca a=b si b=c atunci a=c) rezulta egalitatea dorita:
AM/MP=MB/DM =MN/AM, adica
AM/MP=MN/AM, adica AM^2=MP*MN. (q.e.d.)
