1)
a)
3^(n + 1) × 2^(2n + 1) + 3^(n + 2) × 4^(n+1) =
= 3^(n) ×3¹ × 2^(2n) × 2¹ + 3^(n) × 3² × 2(2n) × 2² =
= 3^(n) × 2^(2n) × (3 × 2 + 3² × 2²) =
= 3^(n) × 2^(2n) × 42 Acest numar este divizibil cu 42 deoarece este un produs de factori din care un factor = 42
b)
15^(n + 2) + 3^(n + 1) × 5^(n + 2) + 3^(n + 2) × 5^(n) =
= 15^(n) × 15² + 3^(n) × 3 × 5^(n) × 5² + 3^(n) ×3² × 5(n) =
= 15^(n) × (15² + 3 × 5² + 3² × 1) =
= 15^(n) × 309 Acest numar este divizibil cu 309 deoarece este un produs de factori din care un factor = 309
2)
6 / [(2x + 1)(y - 1)]
Se cauta x, y ∈ N astfel incat fractia ∈ N
Pentru ca fractia sa fie un numar natural, cele 2 paranteze trebuie sa fie divizori diferiti ai lui 6, a caror produs s fie mai mic sau egal cu 6.
Divizorii lui 6 sunt: 1, 2, 3, 6
(2x - 1) este numar impar ⇒ poate fi egal cu 1 sau cu 3
(y - 1) poate lua oricare din cele 4 valori (1, 2, 3, 6)
Combinatii posibile:
k1 (combinatia 1)
(2x - 1) = 1 => x₁ = 1
(y - 1) = 1 => y₁ = 2
=> fractia = 6 / (1 * 1) = 6 ∈ N
k2
(2x -1) = 1 => x₂ = 1
(y - 1) = 2 => y₂ = 3
=> fractia = 6 / (1 * 2) = 3 ∈ N
k3
(2x - 1) = 1 => x₃ = 1
(y - 1) = 3 => y₃ = 4
=> fractia 6 / (1 * 3 ) = 2 ∈ N
si asa mai departe sunt 6 variante
Calculeaza-le tu pe celelalte
