Notez: [tex]u=x+y \\ \\ v=xy[/tex]
Prima ecuație se poate rescrie:
[tex]2x^2+2y^2+x^2-2xy+y^2=9 \\ \\ 3(x^2+y^2)-2xy=9 \\ \\ 3(x+y)^2-8xy=9 \\ \\ 3u^2-8v=9.[/tex]
Atunci sistemul devine:
[tex]\displaystyle \left\{3u^2-8v=9\atop u+v=-1[/tex]
Scoatem pe v din a doua și-l introducem în prima, obținând:
[tex]3u^2+8u-1=0 \\ \\ \Rightarrow u_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{19}}{3} \\ \\ \Rightarrow v_{1,2}=\dfrac{1\mp\sqrt{19}}{3}[/tex]
Avem apoi de rezolvat sistemul
[tex]\left\{x+y=u\atop xy=v[/tex]
care se rezolvă găsind soluțiile ecuației asociate lui [tex]t^2-ut+v=0[/tex]
Pentru cazul 1, avem ecuația [tex]t^2-u_1t+v_1=0[/tex] , care dă soluțiile [tex]\left\{-1;\dfrac{-1+\sqrt{19}}{3}\right\}=\left\{ \alpha _1; \beta _1\right\}[/tex]
Pentru celălalt caz, obținem soluțiile [tex]\left\{-1;\dfrac{-1-\sqrt{19}}{3}\right\}=\left\{ \alpha _2; \beta _2\right\}[/tex]
În concluzie, avem 4 perechi de soluții:
[tex](x,y)=\left\{( \alpha _1, \beta _1);( \beta _1, \alpha _1);( \alpha _2, \beta _2);( \beta _2, \alpha _2)\right\}.[/tex]
(PS: Ecuațiile urâte de gr 2 le-am rezolvat cu Wolfram alpha)
