Desenează orientativ graficul funcţiei, ca să vezi unde sunt poziţionate punctele şi să-ţi faci o idee cam pe unde ar fi M', adică simetricul punctului M fată de N (uită-te în imaginea ataşată).
Punctul M' se află undeva pe prelungirea dreptei MN, deci coordonatele simetricului rezolvă ecuaţia dreptei MN, pe care o să o aflăm.
Formula pentru ecuaţia dreptei, atunci când cunoşti coordonatele a doua puncte:
[tex] \frac{ x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{ y_{2}-y_{1}}[/tex]
Deci ecuaţia dreptei MN este:
[tex] \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-2} <=> 3-x = y[/tex]
Din faptul că M' este simetric cu M, ştim că lungimea MN = NM'.
Formula pentru lungimea segmentului MN:
[tex] \sqrt{(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^2} = 2 \sqrt{2} [/tex]
Acum aflăm lungimea lui NM' în funcţie de coordonatele lui M':
[tex]M'(x_{m},y_{m}) \\
NM' = \sqrt{(x_{m}-3)^{2}+(y_{m}-0)^{2}} = MN = 2 \sqrt{2} \
(ridicam \ la \ patrat) \\
(x_{m}-3)^{2}+(y_{m}-0)^{2} = 8 [/tex]
A doua ecuaţie pe care o folosim este cea a dreptei, pe care am aflat-o mai sus:
[tex]3-x_{m} = y_{m} =>x_{m} = 3-y_{m}[/tex]
Înlocuim acest [tex]x_{m}[/tex] în ecuaţia de mai înainte:
[tex](x_{m}-3)^{2}+(y_{m}-0)^{2} = 8 \\
x_{m} = 3-y_{m} \\
=> (3-y_{m}-3)^{2}+(y_{m}-0)^{2} = 8 \\
2y_{m}^{2} = 8 => y_{m} = +2 \ sau -2[/tex]
Din grafic este evident că punctul M' trebuie să se afle în cadranul 4, unde [tex]x_{m}[/tex] este pozitiv şi [tex]y_{m}[/tex] este negativ, deci folosim valoarea [tex]y_{m} = -2[/tex].
Revenim iar la ecuaţia dreptei, de unde aflăm [tex]x_{m}[/tex]:
[tex]3-x_{m} = y_{m} = -2 => x_{m} = 5[/tex]
Deci simetricul lui M faţă de N are coordonatele [tex]M'(5,-2)[/tex] .
