Răspuns:
[tex]\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}<\frac{3^{51} }{2}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Rezolvam suma
[tex]1+3+3^{2}+3^{3}+...+3^{50}[/tex]
Exista formula astfel:
[tex]1+a+a^{2}+a^{3}+...+a^{n}=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}[/tex]
Inlocuind la noi
S= [tex]\frac{3^{51}-1}{50-1}[/tex]=[tex]\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}[/tex]
Astfel revenind
[tex]2*(\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49})<3^{51}[/tex] /* 1/2
[tex]\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}<\frac{3^{51} }{2}[/tex]
Comparam fractiile
[tex]\frac{3^{51}}{49}<\frac{3^{51} }{2}[/tex] (Daca avem doua fractii cu numaratori egali, fractia cea mai mare este cea unde numitorul este cel mai mic)
[tex]\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}<\frac{3^{51} }{2}[/tex] (Daca scadem din prima parte 0<1/49<1 diferenta nu va afecta compararea, deoarece membrul stang devine mai mic)
Deci [tex]\frac{3^{51}}{49} -\frac{1}{49}<\frac{3^{51} }{2}[/tex] de unde relatia 2(1+3+3²+.......+3⁵⁰)<3⁵¹ este adevarata
