1)
[tex]\it Fie \ k \ num\brevw arul \ cerut, k\in\mathbb{N}\ \ \ \ \ (1)\\ \\ 100<11k<999|_{:11} \Rightarrow \dfrac{100}{11}<k<\dfrac{999}{11} \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow 9\dfrac{1}{9}<k<90\dfrac{9}{11}\ \stackrel{(*)}{\Longrightarrow} 10\leq k\leq90 \Rightarrow k=90-9=81\ de\ numere[/tex]
k = 10 ⇒ 11· 10 = 110 (cel mai mic dintre numere)
k = 90 ⇒ 11· 90 = 990 (cel mai mare dintre numere)
2)
[tex]\it Fie\ 9k\ un\ astfel\ de\ num\breve ar,\ \ k\in\mathbb{N}\\ \\ 1000 <9k\leq9999|_{:9} \Rightarrow \dfrac{1000}{9}<k\leq\dfrac{9999}{9} \Rightarrow 111\dfrac{1}{9}<k\leq1111 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 112\leq k\leq1111\\ \\ 1111-111=1000\ de\ numere[/tex]
k = 112 ⇒ 9 ·112 = 1008 (cel mai mic dintre numere)
k = 1111 ⇒ 9 ·1111 = 9999 (cel mai mare dintre numere)
Suma lor este:
[tex]\it S = 9(112+113+114+ ... +1111)=9\cdot\dfrac{(112+1111)\cdot1000}{2}=9\cdot1223\cdot500=\\ \\ \\ =9\cdot611500= 5503500[/tex]
