Răspuns:
f(x)=ln(x²-1)
Domeniul de definitie
x²-1>0
x²-1=0
x²=1
x=±1
Conform regulii semnului pt functia de gradul 2 x∈(-∞,-1)U(1,+∞)=D
--------------------
Intersectia cu Ox f(x)=0
ln(x²-1)=0=>
x²-1=1
x²=1+1
x²=2
x=±√2∈D
A(-√2,0); B(√2,0)
intersectia cu Oy .Deoarece 0∉D graficul nu intersecteaza axa Oy
LImite
[tex]\lim_{x \to- \infty} f(x)= \lim_{x\to -\infty} ln(x^2-1)[/tex]=
[tex]\lim_{x \to -\infty} ln((-oo)^{2} -1=lnoo=[/tex]+∞
[tex]\lim_{x \to \infty} f(x)= \lim_{x\to \infty}ln (oo^2-1)=[/tex]+∞
Asimptote verticale
x->-1 , x<-1 l=limln(x²-1)=ln((-1)²-1)=ln(1-1)=ln0= -∞
x->1 x>1 l=limln(x²-1)=ln(1²-1)=ln0=-∞
_____________________
PUncte de extrem-prima derivata
f `(x)=2x/(x²-1)
f `(x)=0 2x/(x²-1)=0=>x=0 ∉D nu avem puncte de extrem
Semnul derivatei .umitorul e strict pozitiv ,semnul e dat de numarator<Pt x< -√2 derivata e negativa de ci functia e descrescatoare, pt x>√2 derivata e pozitiva si funtia e strict crescatoare
Puncte de inflexiune
f ``(x)=[2(x²-1)-2x*2x]/(x²-1)²
=(2x²-1-4x²)/(x²-1)²=(-2x²-1)/(x²-1)²
f ``(x)=0
-2x²-1=0
2x²+1=0 Suma de patrate strict pozitiva, deci nenula
deivata 2 nu se anuleaza functia nu are puncte de inflesiune
Semnul derivatei 2
f ``(x)= -(2x²+1)/(x²-1)²
Numaratorul e strict negativ, numitorul strict pozitiv . derivata 2 e stricy negativa.Functia e concava
Tabel de variatie
x l -∞ -√2----------------- +√2 +∞
__________________________--_______________
f `(x) l- - - - - _____________+ + + +
___________________________________________
f (x) l +∞\ \ \0_____________0/ / / / /
Explicație pas cu pas:
