Progresiile aritmetice se caracterizează printr-o diferență constantă între oricare doi termeni consecutivi. Ele sunt de forma [tex]a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n},...[/tex], adică [tex]a_{1} ,a_{1} +r, a_{2} +r,...,a_{n-1} +r,...[/tex], unde r este rația progresiei.
Formula generală a unui termen este [tex]a_{k} =a_{1}+(k-1)r[/tex], unde r este rația și k este poziția termenului în șir.
Scriem [tex]a_{5},a_{3},a_{8}[/tex] în funcție de [tex]a_{1}[/tex] folosind formula generală a unui termen.
[tex]a_{3}=a_{1}+(3-1)r=a_{1}+2r[/tex]
[tex]a_{5}=a_{1}+(5-1)r=a_{1}+4r[/tex]
[tex]a_{8}=a_{1}+(8-1)r=a_{1}+7r[/tex]
Înlocuim în sistem și avem:
[tex]\left \{ {a_{1}+a_{1}+4r=10} \atop {a_{1}+2r+a_{1}+7r=10}} \right. <=>\left \{ {2a_{1}+4r=10} \atop {2a_{1}+9r=10}} \right. <=>\left \{ {a_{1}+2r=5} \atop {2a_{1}+9r=10}} \right.<=>\left \{ {a_{1}=10-4r} \atop {2a_{1}+9r=10}} \right.[/tex]
Înlocuim pe [tex]a_{1}[/tex] în a doua relație și calculăm rația:
[tex]2(10-4r)+9r=10 <=>20-8r+9r=10<=>r=-10[/tex]
Deci, primii 4 termeni ai progresiei vor fi:
[tex]a_{1} =10+40=50\\a_{2} =a_{1}+r=50-10=40\\a_{3} =a_{2}+r=40-10=30\\a_{4} =a_{3}+r=30-10=20[/tex]
