Este enorm de mult de scris. Sper sa incapa aici.
Primul exercitiu:
i)
[tex]x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{m+1}{m}[/tex]
[tex]y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{4(m+1)^2-4m(m-1)}{4m}=-\dfrac{3m+1}{m}[/tex]
[tex]x_V-2=-\dfrac{m+1}{m}-2=-\dfrac{3m+1}{m}=y_V\Rightarrow V(x_V;y_V)[/tex] este pe dreapta y=x-2
ii) Trebuie ca m>0⇒ facand tabelul cu semnul pentru [tex]x_V[/tex], constatam ca pentru m>o, [tex]x_V[/tex]<0. deci raspuns> Portiunea din dreapta din stanga axei Oy.
Exercitiul 2.
[tex]\dfrac{x-1}{3}=n\in\mathbb Z\Rightarrow x=3n+1\Rightarrow \left[\dfrac{(3n+1)^2-3(3n+1)+1}{3}\right]=n[/tex]
[tex]n\leq\dfrac{9n^2+6n+1-9n-3+1}{3}
[tex]3n\leq9n^2-3n-1<3n+3[/tex]
[tex]0\leq9n^2-6n-1<3[/tex] De aici cred ca poti continua sa afli pe n (rezolvi separat cele doua inecuatii, gasesti un interval, iei numerele naturale din acel interval si apoi gasesti valorile lui x din relatia de mai sus: x=3n+1.
Exercitiul 3
Notam ca de obicei x+y=S si xy=P
Avem:
S²-2P=z
S=a-z. Inlocuim valoarea lui S in randul precedent
a²-2az+z²-2P=z
z²-z(2a+1)+a²-2P=0 Deoarece se cere ca sistemul sa aiba solutie unica, rezulta ca aceasta ecuatie cu necunoscuta z trebuie sa aiba discriminantul nul. Deci:
[tex]\Delta=0\Rightarrow (2a+1)^2-4(a^2-2p)=0[/tex]
[tex]4a^2+4a+1-4a^2+8p=0\Rightarrow p=-\dfrac{4a+1}{8};\ z=\dfrac{2a+1}{2}[/tex]
[tex]S=a-\dfrac{2a+1}{2}=-\dfrac12[/tex]
x si y vor fi solutiile ecuatiiei
[tex]t^2-St+P=0[/tex]
[tex]t^2+\dfrac t2-\dfrac{4a+1}{8}=0[/tex]
[tex]8t^2+4t-(4a+1)=0[/tex]
Pentru ca x si y trebuie sa fie unici, trebuie ca si aceasta ecuatie sa aiba discriminantul nul, adica
[tex]\Delta=0\Rightarrow16+32(4a+1)=0\Rightarrow a=-\dfrac38[/tex]
Pentru aceasta valoare a lui a obtinem din ultima ecuatie
[tex]t=x=y=-\dfrac14 \ si \ de\ mai\ sus \ z=\dfrac18[/tex]
Nu mai stau sa caut eventuale greseli de exprimare, sau de tastatura. Daca sunt ceva nelamuriri, intreaba. Volumul foarte mare de munca nu mi-a permis sa intru in amanunte.
