Înainte de a rezolva ecuația, primul lucru pe care trebuie să îl facem este să punem condițiile de existență. Un radical poate exista în mulțimea numerelor reale numai dacă numărul de sub radical este pozitiv. Radical din număr negativ există doar în mulțimea numerelor complexe.
Condițiile de existență:
[tex]\displaystyle{ \rightarrow x \in [\frac{3}{4}, \infty)\ \cap \ [-\frac{1}{5}, \infty) \ \cap \ [-\frac{4}{15}, \infty) = [\frac{3}{4}, \infty) }[/tex]
Acum că știm cărui interval îi aparține [tex]x[/tex], ne putem ocupa de rezolvarea ecuației.
[tex]\displaystyle{ \sqrt{4x-3} + \sqrt{5x+1} = \sqrt{15x+4} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ (\sqrt{4x-3} + \sqrt{5x+1})^{2} = (\sqrt{15x+4})^{2} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 9x - 2 + 2\sqrt{20x^{2} - 11x - 3} = 15x + 4 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 2\sqrt{20x^{2} - 11x - 3} = 6x + 6 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \sqrt{20x^{2} - 11x - 3} = 3x + 3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 20x^{2} - 11x - 3 = 9x^{2} + 18x + 9 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 11x^{2} - 29x - 12 = 0 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ a = 11, \ b = -29, \ c = -12 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \Delta = b^{2} - 4ac = (-29)^{2} - 4 \cdot 11 \cdot (-12) }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \Delta = 841 + 528 = 1369 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ x_{1} = \frac{-b+\Delta}{2a} = \frac{29 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 11} = \frac{29 + 37}{22} = \frac{66}{22} = 3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ x_{2} = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{29 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 11} = \frac{29 - 37}{22} = \frac{-8}{22} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ x_{1} = 3 \in [\frac{3}{4}, \infty) }[/tex]
[tex]\displaystyle{ x_{2} = \frac{-8}{22} \notin [\frac{3}{4}, \infty) }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \sqrt{4\cdot 3 - 3} + \sqrt{5\cdot 3 + 1} = \sqrt{15 \cdot 3 + 4} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \sqrt{12-3} + \sqrt{15+1} = \sqrt{45 + 4} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{49} }[/tex]
[tex]\displaystyle{ 3 + 4 = 7 }[/tex]
ADEVĂRAT, deci soluția găsită a fost bună
SOLUȚIE:
[tex]\boxed{x=3}[/tex]
