Subiectul 1.
1. Verificare prin calcul numeric (se tine cont de ordinea efecturarii operatii, in acest caz se calculeaza ce este in paranteza si dupa restul).
2. A(1,0) ∈Gf <=> f(1) =0 <=> 1-a =0 <=> a =1 .
3. x =24 .
4. cardM =9 => 9 cazuri posibile
Elementele multimii M care sunt divizibile cu 30 sunt 30·1 =30, 30·2 =60 si 30·3 =90 => 3 cazuri favorabile.
P =3/9 =1/3 .
5. Mijlocul segmentului AB se calculeaza cu formula
M( (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2 ) =M(5,5) .
6. cos x =5/13 => sin x =√1 -cos²x =√144/169 =12/13 ;
tg x =sin x /cos x =12/5 .
Subiectul al 2-lea
1. a. Verificare prin calcul numeric. Determinantul unei matrici patratice de ordin 2=diferenta produselor termenilor de pe cele doua diagonale (principala si apoi secundara).
b. Calcul numeric. Se aplica operatiile de la matrici.
c. 2ˣ =1 <=> x =0 iar 4^y =1 <=> y =0 .
2. a. Se inlocuieste necunoscuta X cu 1 si dupa verificare se face prin calcul numeric.
b. f =X³ -2·X² -2·X +1 =X³ +1 -2·X(X+1) =(X+1)(X² -X +1) -2·X(X+1) =(X+1)(X³ -3·X +1) => catul si restul polinomului f la polinomul X +1 sunt X³ -3·X +1 respectiv 0 .
c. (x₂+x₃)(x₃+x₁)(x₁+x₂) =-3
Se aplica relatiile lui Viete si obtinem
S₁ =x₁+x₂+x₃ =-1
S₂ =x₁·x₂ +x₂·x₃ +x₁·x₃ =-2
S₃ =x₁·x₂·x₃ =2
=> (x₂+x₃)(x₃+x₁)(x₁+x₂) =(-1-x₁)(-1-x₂)(-1-x₃) =
(1 +x₂+x₁ +x₁·x₂)(-1-x₃) =-3 .
Subiectul al III-lea
1. a. f'(x) =(-x³ +3·x +2)' =-3·x² +3 =3(1-x)(1+x) pentru orice x ∈R.
b. lim x→2 f(x) /(x-2) = lim x→2 -x³ +3·x +2 /(x-2) = lim x→2 (x-2)(-x² -2·x -1) /(x-2) =-4 -4 -1 =-9 .
c. f(x) <=4 <=> -x³ +3·x -2 < = 0 => (x-1)(-x-x² +2) <=0 si se obtine ca inegalitatea este adevarata pentru orice x ∈[-1,∞) .
2. Se face calcul numeric la ambele subpuncte.
