Notam cu m lungimea conductorului AP si cu n pe cea a lui PC
Unghiul PAO = 90 grade (si nu BAO cum e scris in carte)
Fiecare conductor are rezistenta: R=ro*l/S, unde l este lungimea conductorului.
Rezistenta echivalenta intre B si C se calculeaza astfel:
{[(AP si PC in serie) || AC] in serie cu AB} || BC
Adica Re = ro/S * {[(m+n) || b] + c} || a
Deocamdata dam la o parte ro/S, pe care il adaugam la sfirsit.
{[(m+n) || b] + c} || a inseamna e fapt:
(m+n) || b: (m+n) b / (m+n+b)
[(m+n) || b] + c: (m+n) b / (m+n+b) + c
a ( c + (m+n) b / (m+n+b)) / (a + c + (m+n) b / (m+n+b))
Daca prelucram obtinem
a [(m+n)b + c(m+n+b)] / [(a+c)(m+n+b) + b(m+n)] =
a [(m+n)(b+c) + bc] / [(m+n)(a+b+c) + b(a+c)] (**)
Trebuie sa evaluam m si n in functie de a, b, si c
Din desen constatam ca ΔABP ~ ΔACP deoarece unghiul P este unghi comun si unghiul ABP subintinde acelasi arc ca si unghiul PAC.
Scriind teorema lui Thales, avem:
AP/PC = AB/AC = BP/AP
sau m/n = c/b = (a+n)/m
Gasim astfel: bm = cn; mc = b(a+n)
Facem raportul: b/c = cn/(b(a+n))
b^2 (a+n) = c^2 n
ab^2 = n(c^2 - b^2)
Sau n=ab^2 / (c^2 - b^2), m=abc/(c^2 - b^2)
m+n = ab(b+c)/(c^2 - b^2) = ab/(c-b)
m+n=ab/(c-b)
Revenind la (**):
a [(m+n)(b+c) + bc] / [(m+n)(a+b+c) + b(a+c)] =
a (ab/(c-b)(b+c) + bc) / (ab/(c-b)(a+b+c) + b(a+c)) =
a (ab(b+c) + bc(c-b)) / (ab(a+b+c) + b(a+c)(c-b)) =
(simplificam cu b)
a (a(b+c) + c(c-b)) / (a(a+b+c) + (a+c)(c-b)) =
a(a(b+c) + c(c-b)) / (a^2+ab+ac+ac+c^2-ab-bc) =
a(a(b+c) + c(c-b)) / (a(a+2c) + c(c-b))
Raspuns: Rezistenta echivalenta intre B si C
Re = ro a / S (a(b+c) + c(c-b)) / (a(a+2c) + c(c-b))
cu mentiunea ca c>b
